Bilangan kompleks

Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari 2 buah bagian, yakni: bagian nyata atau real dan bagian khayalan atau imajiner. Bagian nyata adalah bilangan real seperti yang kita gunakan sehari-hari, seperti: 3; -1; 1,1; 3,14. Sementara bagian imajiner adalah bagian bilangan kompleks yang merepresentasikan perkalian dengan identitas i (bilangan imajiner) Apa itu bilangan imajiner?

Bilangan imajiner adalah bilangan yang jika dikuadratkan menghasilkan -1. Dengan kata lain i = √(-1).

Karena bilangan kompleks dapat dinyatakan sebagai 2 bagian, kita bisa tuliskan bilangan kompleks sebagai penjumlahan dari bagian real dan bagian imajiner. Contohnya:

3 + 4i

2 + i

0 + 3i

Umumnya kita akan menuliskannya sebagai a + bi dengan a adalah bagian bilangan real, dan b adalah bagian bilangan imajiner.

Hampir sama dengan bilangan-bilangan lain, bilangan kompleks juga memiliki sifat-sifat. Bilangan kompleks tertutup terhadap operasi penumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Artinya, keempat operasi tersebut dapat menghasilkan bilangan kompleks juga.

  

Operasi Hitung Bilangan Kompleks

Penjumlahan dan Pengurangan
Penjumlahan dua buah bilangan kompleks dinyatakan sebagai:
(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i

Artinya, penjumlahan bilangan kompleks semudah menjumlahkan setiap bagian bilangan kompleks yang sama. Jika dilihat bagian nyata dari bilangan pertama dan kedua dijumlahkan (a + c) kemudian bagian khayalan juga dijumlahkan terhadap sesamanya (b + d). Untuk kasus pengurangan juga tak jauh berbeda. Namun yang harus diperhatikan adalah, pengurangan hanya terjadi pada setiap bagian yang sama. Dengan kata lain

(a + b i) – (c + d i) = (a – c) + (b – d) i

Kenapa menjadi (a – c) + i (b – d) bukan (a – c) – i (b – d) atau jawaban lain? Jawabannya sederhana tanda + mengatakan bahwa terdapat dua buah bagian bilangan yang membentuk bilangan kompleks.

Contoh:

(3 + 5 i) + (2 + 2 i)

= (3 + 2) + (5 + 2) i

= 5 + 7 i

(4 + 2 i) – (3 + 1 i)

= (4 – 3) + (2 – 1) i

= 1 +  1 i

= 1 + i

1.      Penjumlahan.
Contoh : ( 3 + 2 i ) + ( -2 + 7i ) = ................................
Jawaban :
( 3 + 2i ) + ( -2 + 7i ) = 3 + 2i – 2 + 7i = 1 + 9i.

2.      Pengurangan.
Contoh : ( 2 - 3i ) - ( 8 - 2i ) = ......................................
Jawaban :
( 2 - 3i ) - ( 8 - 2 i ) = 2 – 3i - 8 + 2i = -6 – i

Perkalian
Aturan perkalian pada bilangan kompleks sebenarnya cukup sederhana.
(a + b i) x (c + d i)
=> a x c + a x d i + b x c i + b x d x i x i
=> (a x c – b x d) + (a x d + b x c) i
sehingga
(a + b i) x (c + d i) = (a x c – b x d) + (a x d + b x c) i
Ingat lagi bahwa i adalah akar kuadrat dari -i dengan demikian i kuadrat akan menghasilkan -1 sehingga b x d x i x i akan menghasilkan – b x d. Bilangan ini adalah bilangan real karena sudah tak mengandung i lagi.
Contoh:
(3 + i) x (2 + 3 i)
= (3 x 2 – 1 x 3) + (3 x 3 + 1 x 2) i
= 3 + 11  i
3. Perkalian .
Contoh : ( 3 + 4i )( 2 – 5i ) = ..........................................
Jawaban :
( 3 + 4i )( 2 – 5i ) = 6 – 15i + 8i - 20i2
Ubah i2 = -1 , maka :
( 3 + 4i )( 2 – 5i ) = 6 – 15i + 8i + 20 = 26 - 7i.

Pembagian
Pembagian bilangan kompleks boleh dibilang sedikit lebih njlimet (baca: rumit). Ide dasarnya adalah kita membuat penyebut (bilangan yang ada di bagian bawah dalam pecahan) menjadi sederhana. Langsung saja kita ke contoh:
(a + b i) / (c + d i)

Misal (a + b i) dibagi dengan (c + d i). Kita perlu membuat c + d i menjadi sederhana. Kita tahu bahwa (x + y) dikali dengan (x – y) akan menghasilkan (x*x – y*y). Kita akan memanfaatkan sifat ini. Tapi kalau begitu, supaya adil bagian pembilang juga harus dikalikan dengan nilai yang sama. Maka kita dapatkan:

( (a + b i) x (c – d i) ) / ( (c + d i) x (c-d i) )

=> ( (a + b i) x (c – d i) ) / ( c^2 + d^2)

=> ( (a x c + b x d) + ( – a x d + b x c) i ) / ( c^2 + d^2)

Perhatikan, tanda ^ berarti pangkat. C^2 berarti c pangkat 2 atau c kuadrat.

Contoh:

(2 + 3 i) / (1 + 2 i)

= ( (2 + 3 i) x (1 – 2 i) ) / ( (1 + 2 i) x (1 – 2 i) )

= ( (2 x 1 + 3 x 2) + ( -2 x 2 + 3 x 1) i )  /  ( 1^2 + 2^2 )

= ( 8 – i ) / 5

Contoh Soal pembagian :




= ....


Jawab:
Lihat bagian penyebut, yaitu 3+4i. Maka, sekawan/konjugatnya adalah 3-4i. Kalikan bilangan konjugat ini di pembilang dan penyebut.. (lihat langkah di bawah).

=